0과 1, 컴퓨터의 논리(1)

논리 회로는 컴퓨터의 구조를 설명할 때 자주 언급되는 개념입니다. 이는 컴퓨터 하드웨어의 기본 원리를 다루는 학문 분야로, '논리'라는 용어가 사용되는 이유는 컴퓨터가 0과 1, 즉 이진수를 사용하여 작동하는 방식이 논리학에서의 참과 거짓을 기반으로 한 추론 및 연산과 유사하기 때문입니다. 이런 연관성으로 인해, 컴퓨터 회로의 구성 원리를 '논리 회로'라고 부릅니다. 컴퓨터의 논리에 대해 더 자세히 알아보기 전에, 논리학의 기초에 대해 간략히 설명해보겠습니다.

고대 철학자 아리스토텔레스는 논리를 진리 탐구의 수단으로 보았습니다. 그의 학문적 업적이 집대성된 "오르가논"은 기원전 4세기부터 전해져 오며, 논리학에 관한 광범위한 내용을 담고 있는 고대 문헌 중 하나로 꼽힙니다. 당시 그리스에서 논리는 진리를 파악하기 위한 언어 분석의 방법으로, 철학의 한 분야로 여겨졌습니다. 아리스토텔레스의 논리학의 핵심은 삼단논법이라고 알려진 연역적 추론 방식에 있었습니다. 이 방법의 대표적인 예로 다음과 같은 삼단논법을 들 수 있습니다.

1. 모든 인간은 죽는다.
2. 소크라테스는 인간이다.
3. 따라서, 소크라테스도 죽는다.

 

이 삼단논법은 두 개의 전제가 참이라면, 그에 따른 결론 또한 참이라는 것을 보여줍니다.

수학자들은 2000년 이상 동안 아리스토텔레스의 논리학을 수학적 기호와 연산으로 표현하기 위해 노력해왔습니다. 19세기 이전에 이 목표에 가장 가까워진 인물은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠였습니다. 본래 논리학에 관심을 가졌던 라이프니츠는 후에 수학과 철학 등 다양한 분야에서 중요한 업적을 이루었으며, 아이작 뉴턴과 동시대인으로 미적분학을 독립적으로 발전시켰습니다.

조지 부울이라는 중대한 인물이 논리학 분야에 등장했습니다. 1815년 영국에서 태어난 부울은 당시 사회적 계급 구조에서 볼 때 평범한 가정에서 자랐지만, 그의 아버지의 지원으로 수학, 과학, 문학 등에 대한 광범위한 교육을 받을 수 있었습니다. 그의 노력은 1849년 그를 아일랜드 코크의 퀸스 칼리지의 수학 교수로 이끌었습니다.

19세기 중반, 논리를 수학적으로 정의하고자 한 여러 수학자들 중에서, 오거스터스 드 모르간도 주목할 만한 인물입니다. 그러나 논리학의 수학적 기초를 확립한 것은 부울이었습니다. 그의 초기 작업은 1847년 발표된 "논리의 수학적 해석"에서 시작되어, 1854년 "생각의 법칙"이라는 더 깊이 있는 저서로 발전했습니다. 부울은 1864년에 비를 맞으며 강의실로 서둘러 가다가 결국 폐렴으로 세상을 떠났습니다.

부울은 인간의 사고 과정이 논리를 기반으로 한다고 보았으며, 따라서 인간의 정신 활동을 수학적으로 분석할 수 있을 것으로 생각했습니다. 그의 1854년 저작인 "생각의 법칙"은 바로 이러한 관점을 반영하고 있습니다. 현대적 관점에서는 이런 접근 방식이 다소 단순하게 느껴질 수 있습니다. 부울은 전통적인 대수학과 유사하면서도 그와는 별개로 작동하는 새로운 형태의 대수학을 창조했습니다. 전통 대수학에서는 변수(보통 알파벳으로 표현됩니다)가 수량을 나타내며, 연산 기호(예: +, ×)는 이러한 수량을 어떻게 결합할지를 정의합니다. 우리는 일상적으로 다음과 같은 문제를 해결하기 위해 전통적인 대수학을 활용합니다.

안나(A)가 1kg의 두부를 가지고 있고, 베티(B)는 에냐의 두 배인 두부를 가지고 있습니다. 찰리(C)는 베티가 가진 양보다 2kg 더 많은 두부를 소유하고 있으며, 데이비드(D)는 찰리가 가진 양의 3배에 해당하는 두부를 보유하고 있다면, 데이비드의 두부 양은 총 얼마인가요?

이 문제를 해결하기 위해, 먼저 문장으로 제시된 정보를 수학적 방정식으로 변환해야 합니다. 아래의 방정식은 네 사람이 갖고 있는 두부의 양(kg)을 나타냅니다.

 

이 네 개의 방정식을 순차적으로 대입하는 방식으로 단일 수식으로 합칠 수 있으며, 이를 통해 덧셈과 곱셈 연산을 수행하면 다음과 같은 결과를 도출할 수 있습니다.

 

 

대수학을 적용하여 계산을 수행할 때는, 대수의 기본 원칙들을 따라야 합니다. 이러한 규칙들은 우리 일상에 깊숙이 스며들어 있어서, 때로는 그 존재 자체를 의식하기 어려울 정도입니다. 그러나 모든 수학적 연산은 이러한 원칙들 위에 구축되어 있습니다.

첫 번째 기본 원칙은 교환법칙으로, 더하기와 곱하기 연산에 적용됩니다. 이는 연산을 수행할 때, 피연산자의 순서가 바뀌어도 결과가 동일하다는 것을 의미합니다.

 

반면, 빼기와 나누기 연산에서는 피연산자의 순서를 바꾸는 것이 허용되지 않습니다. 더하기와 곱하기 연산에는 결합법칙이 적용되며, 이는 연산 순서에 관계없이 같은 결과를 얻을 수 있음을 나타냅니다.

 

마지막으로, 곱셈에 대한 배분법칙이 있습니다. 이는 곱셈 연산을 덧셈 연산에 대하여 분배할 수 있음을 나타냅니다.

 

대수학의 전형적인 특징 중 하나는 물체의 무게, 동물의 수, 여행하는 거리, 사람들의 연령 등 구체적인 수치에 초점을 맞춘다는 것입니다. 부울이 탁월함을 드러낸 부분은 바로 이러한 전통적인 대수학에서 연산자가 주로 수치를 다루는 데 사용된다는 관념에서 벗어나, 연산자의 사용을 추상적인 개념으로 확장한 것입니다. 즉, 부울 대수에서 연산자는 구체적인 수량이 아닌 범주에 적용됩니다. 여기서 말하는 범주는 일련의 객체들의 집합으로, 이 개념은 나중에 '집합'으로 널리 알려지게 됩니다.

일반 대수에서 사용되는 +와 × 기호는 각각 덧셈과 곱셈을 의미하지만, 부울 대수에서 이 기호들은 전혀 다른 방식으로 해석됩니다. 우리 대부분은 전통적인 대수에서 이 기호들을 이용해 수를 어떻게 더하고 곱하는지에 대해 익숙합니다. 그러나 범주를 더하고 곱하는 것은 어떻게 이루어질까요?