0과 1, 컴퓨터의 논리(2)

부울 대수의 핵심은 전통적인 수학의 덧셈과 곱셈과는 다른 작업을 수행한다는 것입니다. 여기서 사용되는 +와 × 기호는 각각 특별한 작업을 나타냅니다. + 기호는 두 범주의 모든 요소를 포함하는 합집합으로, 예를 들어 검은색 고양이를 B, 흰색 고양이를 W로 정의하면, B+W는 검은색 또는 흰색 고양이를 모두 포함하는 집합을 의미합니다.

× 기호는 두 범주에 동시에 속하는 요소들의 교집합을 나타냅니다. 예컨대, 암컷 고양이를 F로, 황갈색 고양이를 T로 설정한다면, F×T는 암컷이며 황갈색인 고양이들의 집합입니다. 이처럼 부울 대수에서는 F×T를 F·T 또는 간단히 FT로 표현할 수 있으며, 이는 '암컷이며 황갈색인 고양이'라는 집합을 지칭합니다.

부울 대수에서는 고양이의 성별과 색상 같은 특성을 기반으로 한 집합을 이용하여 복잡한 논리적 연산을 수행합니다. 이 시스템은 수와 연산자가 전통적인 수학적 의미에서 사용되는 방식과는 달리, 특정한 특성을 가진 집합들 사이의 관계를 정의하고 조작하는 데 사용됩니다.

앞에서 살펴본 교환, 결합, 배분 법칙은 부울 대수에서도 역시 적용됩니다. 게다가 부울 대수에서는 × 연산에 대한 + 연산의 결합 법칙도 성립됩니다. 이 부분은 원래 일반적인 대수에서는 성립되지 않던 것이지요.

 

하얀색과 검정 암컷 고양이의 결합은, 하얀색 및 검정 고양이들의 모임과 하얀색 및 암컷 고양이들의 모임을 별도로 합친 뒤, 이 두 집합의 공통 부분을 찾는 것과 같습니다. 이 과정은 직관적으로 명확하지 않을 수 있지만, 정확한 해석입니다. 부울 대수를 완전히 이해하기 위해서는 추가적인 두 기호의 의미를 알아야 합니다. 이 기호들은 숫자처럼 보이지만 때때로 숫자와는 전혀 다르게 쓰이므로 숫자로 오해해서는 안 됩니다. 부울 대수에서 '1'은 전체를 의미합니다, 즉 모든 가능한 것을 포함하는 '전체 집합'을 나타냅니다. 예를 들어, '1'은 모든 종류의 고양이를 대표합니다.

 

이 식은 수컷 고양이와 암컷 고양이를 모두 포함하는 집합이 곧 모든 고양이를 의미한다는 것을 나타냅니다. 마찬가지로, 황갈색 고양이, 검정 고양이, 흰 고양이, 그리고 다른 모든 색의 고양이들의 집합도 전체 고양이 집합과 같습니다.

 

이와 같이 다양한 집합의 합도 전체 고양이 집합을 구성합니다.

 

전체 집합에서 특정 요소를 제외하고자 할 때, '1'과 빼기 기호를 사용할 수 있습니다.

 

예를 들어, 이 식은 전체 고양이 집합에서 수컷 고양이를 뺀 나머지, 즉 암컷 고양이만을 남기는 연산을 의미합니다.

 

또 다른 중요한 개념으로 부울 대수에서 '0'을 들 수 있습니다. 여기서 '0'은 어떠한 요소도 포함하지 않는 집합, 즉 공집합을 나타냅니다. 이는 서로 상반되는 특성을 가진 집합들의 교집합을 취했을 때 나타나는 결과입니다. 예를 들어, 동시에 수컷이면서 암컷인 고양이 집합을 찾을 경우, 그 결과는 공집합이 됩니다.

 

부울 대수에서 '1'과 '0'은 특별한 의미를 가지며, 이는 일반 대수와는 다른 맥락에서 사용됩니다. 예를 들어, 모든 고양이 집합과 암컷 고양이 집합의 교집합은 암컷 고양이 집합입니다.

 

 

고양이를 포함하지 않는 집합과 암컷 고양이 집합의 교집합은 고양이가 없는 집합이 됩니다.

 

고양이가 없는 집합과 암컷 고양이 집합의 합집합은 암컷 고양이 집합입니다.

 

부울 대수에서, 모든 고양이 집합과 암컷 고양이 집합의 합집합은 모든 고양이 집합을 나타냅니다.

 

이와 같은 결과는 일반 대수에서는 직관적으로 이해하기 어렵습니다. 암컷 고양이 집합을 제외한 모든 고양이 집합과 암컷 고양이 집합의 합집합은 전체 고양이 집합을 구성합니다.

 

두 집합의 교집합을 취했을 때 공집합이 나오는 것은 ‘모순의 법칙’을 수학적으로 표현한 것입니다. 이 법칙은 동일한 요소가 서로 상반되는 두 집합에 동시에 속할 수 없다는 원칙을 나타냅니다.

 

암컷 고양이 집합과 자신의 교집합은 암컷 고양이 집합 그 자체입니다.

 

부울 대수에서 이러한 수식은 암컷 고양이 집합의 특성을 잘 보여주며, 숫자로 해석할 때와는 다른 의미를 가집니다. 부울 대수와 일반 대수의 차이를 드러내는 중요한 예로 X² = X가 있습니다.

암컷 고양이 집합과 그 자신의 합집합은 여전히 암컷 고양이 집합을 의미합니다.

 

 

암컷 고양이와 암컷 고양이의 합집합은 여전히 암컷 고양이입니다.